Vzdialenosti

Vzdialenosť dvoch daných bodov vypočítame podľa vzťahu (2.1). Bežne sú známe jednoduché vzťahy na výpočet vzdialenosti bodu od priamky v rovine a vzdialenosti bodu od roviny v priestore. Obidva vzťahy sú navzájom veľmi podobné:

Vstupné informácie 		 Výsledná vzdialenosť




Bod $X_{0} = [x_{0},y_{0}]$ a 		  $d(X_{0},p)=\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+c\vert} {\sqrt{a^2+b^2}}$


priamka $p$ určená rovnicou $ax + by + c = 0$


Bod $X_{0}=[x_{0},y_{0},z_{0}]$ a 		 $d(X_{0},\alpha)=\frac{\vert ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\vert}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$


rovina $\alpha$ určená rovnicou $ax+by+cz+d=0$

V obidvoch prípadoch čitateľ zlomku na pravej strane dostaneme tak, že do príslušnej rovnice dosadíme súradnice príslušného bodu a vytvoríme absolútnu hodnotu, v menovateli je dĺžka normálového vektora určeného koeficientami príslušnej priamky, resp. roviny.

Príklad 26. Vypočítame vzdialenosť bodu $P[-7,3]$ od priamky $p:\ [x,y] = [-2+3t,1-t]$.

Riešenie: Najskôr nájdeme všeobecnú rovnicu priamky $p$. Jej normálové vektory sú kolmé k jej smerovému vektoru $[3,-1]$, napríklad vektor $\vec{n} = [1,3]$. Preto všeobecná rovnica priamky $p$ po úprave je

$$p:\ x + 3 y - 1 = 0.$$

Teraz použijeme vzťah pre vzdialenosť bodu od priamky v rovine

$$d(P,p) = \frac{\vert 1.(-7) + 3.3 - 1\vert}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$

$\clubsuit$

Príklad 27. Rovina

$$\pi:\ 7x - 5y + 5z + 2 = 0$$

pretína guľovú plochu

$$g:\ (x-2)^2 + (y+3)^2 + (z+4)^2 = 11$$

v kružnici $k$. Vypočítame polomer kružnice $k$ a napíšeme rovnicu dotykovej roviny $\pi'$ ku guľovej ploche $g$ rovnobežnej s rovinou $\pi$.

Riešenie: Najskôr si určíme vzdialenosť stredu $S[2,-3,-4]$ guľovej plochy od roviny $\pi$

$$d = \frac{\vert 7.2 -5.(-3) + 5.(-4) + 2\vert}{\sqrt{7^2 + (-5)^2 + 5^2}} = \frac{\sqrt{11}}{3}.$$

Označme hľadaný polomer $r$, stred kružnice $k$ znakom $C$ a zvoľme ľubovoľný bod $P$ na kružnici $k$. Trojuholník $SPC$ je pravuohlý s pravým uhlom pri vrchole $C$, odvesnami $d$ a $r$ a preponou rovnou polomeru guľovej plochy $\sqrt{11}$. Podľa Pytagorovej vety platí

$$r^2 = 11 - \frac{11}{9} = \frac{88}{9}$$

a $r = \frac{2\sqrt{22}}{3}$.
Keďže hľadaná rovina $\pi'$ je rovnobežná s rovinou $\pi$, jej rovnica je

$$7x - 5y + 5z + d = 0,$$

pre isté číslo $d$, ktoré máme nájsť. Keďže vzdialenosť stredu $S$ guľovej plochy od jej dotykovej roviny je rovná polomeru, dostávame rovnicu

$$\frac{\vert 7.2 -5.(-3) + 5.(-4) + d\vert}{\sqrt{99}} = \sqrt{11},$$

po úprave

$$\vert d + 9\vert = 33$$

s dvomi riešeniami $d_{1} = 24$ a $d_{2} = -42$. Hľadané roviny sú dve

$$\pi':\ 7x - 5y + 5z + 24 = 0 \quad a \quad \pi'':\ 7x - 5y + 5z - 42 = 0.$$

$\clubsuit$

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok v rovine určíme tak, že na ľubovoľnej z nich určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od druhej priamky.
Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín určíme tak, že na ľubovoľnej z nich určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od druhej roviny.
Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovinou určíme tak, že na priamke určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od roviny.
Vzdialenosť bodu od priamky v priestore je rovná vzdialenosti tohoto bodu od jeho kolmého priemetu na danú priamku. Praktický výpočet vzdialenosti bodu $A$ od priamky $p$ prevedieme v štyroch krokoch:

1. Vyjadríme všeobecný vektor $\vec{P - A}$, kde $P$ je ľubovoľný bod priamky $P$ v závislosti od parametra priamky,
2. nájdeme tú (jedinú) hodnotu parametra, pre ktorú je tento vektor kolmý na smerový vektor priamky $p$,
3. dosadíme vypočítanú hodnotu parametra do vyjadrenia všeobecného vektora,
4. hľadaná vzdialenosť je rovná dĺžke takto získaného vektora.

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok v priestore určíme tak, že na ľubovoľnej z nich si zvolíme ľubovoľný bod a postupujeme podľa predchádzajúceho prípadu.

Príklad 28. Vypočítame vzdialenosť rovnobežných rovín $\pi:\ x - 2 y + 3 z - 6 = 0$ a $\pi':\ 2x - 4y + 6z + 6 = 0$.

Riešenie: Zvoľme napríklad $[-3,0,0] \in \pi'$ a vypočítajme jeho vzdialenosť od $\pi$

$$d = \frac{\vert-3 - 6\vert}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \frac{9}{\sqrt{14}} = \frac{9 \sqrt{14}}{14}$$

$\clubsuit$

Príklad 29. Vypočítame vzdialenosť bodu $Q[-2,3,1]$ od priamky $p: [x,y,z] = [9 + 4t,-2 - t,$ $2 + 3t]$.

Riešenie:

1. Všeobecný vektor $\vec{P - Q}$ má vyjadrenie
   
   $$\vec{P - Q} = [11 + 4t,-5 - t,1 + 3t].$$
   
   

2. Tento vektor je kolmý na smerový vektor $\vec{s}=[4,-1,3]$ priamky $p$ práve vtedy, ak
   
   $$4(11+4t) - 1(-5-t) + 3(1+3t) = 0.$$
   
   
   Hľadaná hodnota parametra je preto $t = -2$.
3. Po dosadení dostávame súradnice konkrétneho vektora
   
   $$\vec{P_0 - Q} = [3,-3,-5].$$
   
   

4. Hľadaná vzdialenosť je
   
   $$d = \vert\vert\vec{P_0 - Q}\vert\vert = \sqrt{9 + 9 + 25} = \sqrt{43}.$$
   
   

$\clubsuit$

Vzdialenosť dvoch mimobežných priamok určíme v štyroch krokoch:

1. vyjadríme všeobecný vektor spájajúci ľubovoľný bod jednej priamky s ľubovoľným bodom druhej priamky v závislosti od parametrov obidvoch priamok,
2. nájdeme tie (jednoznačne určené) hodnoty parametrov, pre ktoré je tento vektor kolmý na smerové vektory obidvoch priamok,
3. dosadíme takto získané parametre do vyjadrenia všeobecného vektora,
4. hľadaná vzdialenosť sa rovná dĺžke takto získaného vektora.

Príklad 30. Vypočítame vzdialenosť prieniku $p$ rovín $\pi:\ x + 2y + z - 5 = 0$ a $\mu:\ x - 2y - 3z - 1 = 0$ od priamky $q:\ [x,y,z] = [-6+3t,-3,-2t]$.

Riešenie: Najskôr určíme vzájomnú polohu daných priamok. Smerový vektor priamky $p$ je kolmý na normálové vektory obidvoch rovín, ktoré ju obsahujú. Je ním teda ľubovoľný násobok vektorového súčinu

$$[1,2,1]\times [1,-2,-3] = [-4,4,-4].$$

Kvôli jednoduchosti budeme pracovať s vektorom

$$\vec{s_{p}} = [1,-1,1].$$

Parametrické rovnice priamky $p$ dostaneme voľbou ľubovoľného spoločného bodu rovín $\pi$ a $\mu$, napríklad bodu so súradnicami $[5,-1,2]$

$$p:\ [x,y,z] = [5 + s, -1 - s, 2 + s].$$

Z rovníc priamok $p$ a $q$ vidíme, že sú buď rôznobežné alebo mimobežné. Priamka $q$ pretína rovinu $\pi$ v bode so súradnicami $[45,-3,-34]$, ktorý neleží v rovine $\mu$. Preto priamka $q$ nepretína priamku $p$ a obidve sú mimobežné.

1. Ak $A$ je ľubovoľný bod priamky $p$ a $B$ je ľubovoľný bod priamky $q$, tak vektor $\vec{B - A} =$
   $[-11+3t-s,-2+s,-2-2t-s]$.
2. Vektor $\vec{B - A}$ je kolmý na obidva smerové vektory $\vec{s_p} = [1,-1,1]$ a $\vec{s_q} = [3,0,-2]$ práve vtedy, ak
   
   $$1(-11+3t-s) - 1(-2+s) + 1(-2-2t-s) = 0$$
   
   
   a súčasne
   
   $$3(-11+3t-s) + 0(-2+s) - 2(-2-2t-s) = 0.$$
   
   
   Po úprave a riešení sústavy rovníc dostaneme hodnoty $s = -3$ a $t = 2$.
3. Dosadením vypočítaných hodnôt parametrov dostávame konkrétny vektor $\vec{B_0 - A_0} =$
   $[-2,-5,-3]$.
4. Hľadaná vzdialenosť mimobežiek $p$ a $q$ je
   
   $$d = \vert\vert\vec{B_0 - A_0}\vert\vert = \sqrt{(-2)^2+(-5)^2+(-3)^2} = \sqrt{38}.$$
   
   

$\clubsuit$

Na záver poznamenajme, že existujú aj iné spôsoby ako riešiť vyššie popísané úlohy.