Uhly

Odchýlka (uhol) dvoch priamok, dvoch rovín alebo priamky a roviny je číslo z intervalu $\langle0^\circ,90^\circ\rangle$ . Jeho hodnotu môžeme vypočítať z hodnôt vektorov určujúcich príslušné priamky alebo roviny a z podmienky uvedenej v predchádzajúcej vete. Vo všeobecnosti môžeme povedať, že ak z rovníc priamok alebo rovín, o ktorých uhol sa jedná, získame informáciu o dvoch vektoroch toho istého typu (t.j. obidva sú normálové alebo obidva sú smerové), použijeme na výpočet uhlu vzťah

$\begin{displaymath} \cos\ \alpha=\vert\cos\ (\vec{u},\ \vec{v})\vert,\quad \alpha \in \langle 0^\circ,90^\circ\rangle \end{displaymath}$

(2.30)

naopak, v prípade, keď z rovníc získame informáciu o dvoch vektoroch rôznych typov, použijeme vzťah

$\begin{displaymath} \sin\ \alpha=\vert\cos\ (\vec{u},\ \vec{v})\vert, \quad \alpha\in \langle 0^\circ,90^\circ\rangle \end{displaymath}$

(2.31)

Príklad 23. Vypočítame odchýlku priamok $p:\ 2x - 4y + 7 = 0$ a $q:\ [x,y] = [1-t,-3+2t]$ .

Riešenie: Použijeme vzťah

$\begin{displaymath} \sin \alpha = \vert\cos([2,-4],[-1,2])\vert = \vert\frac{2.(-1)+(-4).2}{\sqrt{20}\sqrt{5}}\vert = 1 \end{displaymath}$

Z toho vyplýva, že $\alpha = \arcsin(1) = 90^\circ$ , teda dané priamky sú na seba kolmé. $\clubsuit$

Príklad 24. Vypočítame odchýlku rovín $\pi_{1}:\ 2x + 5y - 3z + 11 = 0$ a $\pi_{2}:\ -3x + y + 2z - 6 = 0$ .

Riešenie:

$\begin{displaymath} \cos \alpha = \vert\cos([2,5,-3],[-3,1,2])\vert = \vert\frac{-7}{\sqrt{38}\sqrt{14}}\vert = \frac{7}{2\sqrt{133}}. \end{displaymath}$

Preto $\alpha = \arccos(\frac{7}{2\sqrt{133}}) \approx 72,33^\circ$ . $\clubsuit$

Príklad 25. Vypočítame odchýlku priamky

$\begin{displaymath}p:\ [x,y,z] = [2-t,4t,1+3t]\end{displaymath}$

a roviny

$\begin{displaymath}\pi:\ 5x + 2z - 1 = 0.\end{displaymath}$

Riešenie:

$\begin{displaymath} \sin \alpha = \vert\cos([5,0,2],[-1,4,3])\vert = \vert\frac{1}{\sqrt{29}\sqrt{26}}\vert \end{displaymath}$

Preto $\alpha = \arcsin(\frac{1}{\sqrt{754}}) \approx 2,1^\circ$ . $\clubsuit$