### Rovnice kužeľosečiek

Kružnica so stredom a polomerom má rovnicu

| (2.16)

Elipsa so stredom a polosami dĺžok , má rovnicu

| (2.17)

Hyperbola so stredom a poloosami dĺžok , má rovnicu

|  |  | (2.18)
|  |  | (2.19)

Parabola s vrcholom a parametrom má rovnicu

|  |  | (2.20)
|  |  | (2.21)

Príklad 12. Nájdeme všetky čísla , pre ktoré bod leží na elipse s rovnicou . Pre ktoré čísla existuje bod so súradnicami na tejto elipse?

Riešenie: Dosadením súradníc bodu do rovnice elipsy dostaneme rovnicu pre neznámu hodnotu

Po úprave

dostávame dve riešenia a .
Pre číslo existuje na danej elipse bod so súradnicami práve vtedy, ak rovnica

s neznámou má riešenie. Po podobnej úprave ako v prvej časti dostaneme

Táto rovnica má riešenie práve vtedy, ak je na pravej strane nezáporné číslo

Táto nerovnica platí práve vtedy, ak . Riešením poslednej nerovnice sú všetky čísla .
Na druhú otázku môžeme nájsť odpoveď aj jednoduchším spôsobom, keď si uvedomíme, že stred danej elipsy je v bode a dĺžka jej poloosi v smere osi je . Preto -ové súradnice všetkých bodov tejto elipsy sú v intervale .

Príklad 13. Nájdeme rovnicu paraboly s vrcholom prechádzajúcej bodom s osou rovnobežnou s osou . Nájdeme tiež na parabole bod súmerný s bodom podľa osi paraboly.

Riešenie: Do vzťahu 2.21 dosadíme za hodnoty a súradnice vrchola a za hodnoty a súradnice bodu . Dostaneme tak rovnicu, ktorá určí parameter paraboly

s riešením . Hľadaná rovnica je

Keďže os paraboly je rovnobežná s osou , bod súmerne združený s bodom podľa osi paraboly má tú istú -ovú súradnicu rovnako ako bod . Jeho -ovú súradnicu nájdeme ako riešenie rovnice

rôzne od čísla , ktorým je číslo . Súmerný bod s bodom má súradnice .