# Cvičenia.

1. sú dané vektory a . Nájdite vektory , , , .

2. Sú dané body , a . Nájdite vektory , , , a zistite ich dĺžky.

3. Vyjadrite vektor ako lineárnu kombináciu vektorov a , ak

b )
  ,
c )
  ,
d )
  .

4. Nájdite všetky jednotkové vektory kolmé k vektoru .

5. Nájdite všetky jednotkové vektory kolmé k obidvom vektorom a .

6. Vypočítajte uhol vektorov

b )
  a
c )
  a ,
d )
  a .

7. Vypočítajte veľkosti uhlov a dĺžky strán v trojuholníku , ak

b )
  ,
c )
  .

8. Vypočítajte obsahy trojuholníkov z predchádzajúceho príkladu.

9. Vypočítajte objem a obsah povrchu rovnobežnostena, v ktorom bod je spojený hranami s bodmi a .

10. Napíšte všeobecnú, smernicovú a parametrické rovnice priamky, ktorá je určená tak, že

b )
  prechádza bodmi ,
c )
  prechádza bodom a je rovnobežná s priamkou ,
d )
  prechádza bodom a je kolmá na priamku ,

11. Zistite spoločné body úsečky a priamky , ak

b )
  ,
c )
  ,
d )
  .

12. Nájdite súradnice ťažiska a priesečníka výšiek v trojuholníku , ak .

13. Nájdite rovnice kružnice opísanej trojuholníku z predchádzajúceho príkladu.

14. Určte typ kužeľosečky a súradnice jej stredu (vrcholu)

b )
  ,
c )
  ,
d )
  ,
e )
  ,
f )
  .

15. Určte polohu bodu vzhľadom k elipse , ak

b )
  ,
c )
  ,
d )
  .

16. Je daná hyperbola .

b )
  Nájdite všetky body, ktorých prvá súradnica je a ležia na hyperbole,
c )
  nájdite všetky priesečníky hyperboly s osou ,
d )
  nájdite všetky hodnoty , pre ktoré existuje na hyperbole bod s prvou súradnicou rovnou ,
e )
  nájdite všetky hodnoty , pre ktoré existuje na hyperbole bod s druhou súradnicou rovnou .

17. Nájdite spoločné body priamky s

b )
  elipsou ,
c )
  parabolou ,
d )
  hyperbolou .

18. Nájdite rovnicu dotyčnice ku

b )
  kružnici v bode ,
c )
  parabole v bode ,
d )
  hyperbole v bode .

19. Nájdite všetky hodnoty čísla , pre ktoré má priamka aspoň jeden spoločný bod s

b )
  kružnicou ,
c )
  parabolou ,
d )
  hyperbolou .

20. Koľko bodov môže mať spoločných priamka s kužeľosečkou?

21. Nájdite všobecnú rovnicu roviny určenej

b )
  bodmi ,
c )
  bodom a priamkou na rovinu kolmou,
d )
  rovnobežnými priamkami a .
e )
  rôznobežnými priamkami a .

22. Nájdite rovnice priamky určenej

b )
  bodmi a ,
c )
  bodom a rovnobežnou priamkou ,
d )
  bodom a rovinou , ktorá je na ňu kolmá,
e )
  bodom , pričom hľadaná priamka je rôznobežná so všetkými tromi súradnicovými osami.

23. Nájdite rovnicu guľovej plochy, ktorá je určená

b )
  stredom a prechádza začiatkom súradnicovej sústavy,
c )
  tým, že sa dotýka roviny v bode a jej stred leží v rovine ,
d )
  polomerom , dotýka sa roviny a jej stred leží na priamke .

24. Popíšte vzájomnú polohu dvojíc priamok

b )
  a ,
c )
  a ,
d )
  a ,
e )
  a .

25. Napíšte rovnice polpriamky, ktorá leží v rovinách , a v polpriestore .

26. Popíšte vzájomnú polohu dvoch rovín

b )
  a ,
c )
  a ,
d )
  a .

27. Popíšte vzájomnú polohu priamky a roviny

b )
  ,
c )
  ,
d )
  .

28. Napíšte rovnice úsečky, ktorej koncové body ležia na priamke a súčasne na guľovej ploche .

29. Napíšte rovnicu dotykovej roviny ku guľovej ploche

b )
  v bode ,
c )
  rovnobežnej s rovinou ,
d )
  kolmej na priamku .

30. Vypočítajte odchýlku

b )
  priamky a priamky ,
c )
  priamky a roviny ,
d )
  roviny a roviny .

31. Vypočítajte odchýlku priamky od všetkých troch osí súradnicovej sústavy a od všetkých troch rovín, určených dvojicami osí.

32. Vypočítajte vzdialenosti

b )
  bodu od roviny ,
c )
  dvoch rovín a ,
d )
  priamky a roviny ,
e )
  rovnobežných priamok a ,
f )
  mimobežných priamok a .

33. Os mimobežiek je priamka rôznobežná s obidvomi mimobežkami a kolmá na každú z nich. Určte rovnicu osi mimobežiek a .

34. Je daný štvorsten , kde .

b )
  Vypočítajte najväčšiu odchýlku dvoch hrán štvorstena,
c )
  vypočítajte najmenšiu odchýlku dvoch stien štvorstena,
d )
  vypočítajte najmenšiu odchýlku hrany a steny štvorstena,
e )
  vypočítajte najmenšiu vzdialenosť vrchola od protiľahlej steny štvorstena,
f )
  vypočítajte najmenšiu vzdialenosť dvoch mimobežných hrán štvorstena,
g )
  vypočítajte obsah povrchu a objem štvorstena.

35. Vypočítajte obsah kruhu, ktorý je prienikom roviny a gule .