## Vzdialenosti

Vzdialenosť dvoch daných bodov vypočítame podľa vzťahu (2.1). Bežne sú známe jednoduché vzťahy na výpočet vzdialenosti bodu od priamky v rovine a vzdialenosti bodu od roviny v priestore. Obidva vzťahy sú navzájom veľmi podobné:

    Vstupné informácie 		 Výsledná vzdialenosť

    Bod  a

    priamka  určená rovnicou

    Bod  a

    rovina  určená rovnicou

V obidvoch prípadoch čitateľ zlomku na pravej strane dostaneme tak, že do príslušnej rovnice dosadíme súradnice príslušného bodu a vytvoríme absolútnu hodnotu, v menovateli je dĺžka normálového vektora určeného koeficientami príslušnej priamky, resp. roviny.

Príklad 26. Vypočítame vzdialenosť bodu od priamky .

Riešenie: Najskôr nájdeme všeobecnú rovnicu priamky . Jej normálové vektory sú kolmé k jej smerovému vektoru , napríklad vektor . Preto všeobecná rovnica priamky po úprave je

Teraz použijeme vzťah pre vzdialenosť bodu od priamky v rovine

Príklad 27. Rovina

pretína guľovú plochu

v kružnici . Vypočítame polomer kružnice a napíšeme rovnicu dotykovej roviny ku guľovej ploche rovnobežnej s rovinou .

Riešenie: Najskôr si určíme vzdialenosť stredu guľovej plochy od roviny

Označme hľadaný polomer , stred kružnice znakom a zvoľme ľubovoľný bod na kružnici . Trojuholník je pravuohlý s pravým uhlom pri vrchole , odvesnami a a preponou rovnou polomeru guľovej plochy . Podľa Pytagorovej vety platí

a .
Keďže hľadaná rovina je rovnobežná s rovinou , jej rovnica je

pre isté číslo , ktoré máme nájsť. Keďže vzdialenosť stredu guľovej plochy od jej dotykovej roviny je rovná polomeru, dostávame rovnicu

po úprave

s dvomi riešeniami a . Hľadané roviny sú dve

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok v rovine určíme tak, že na ľubovoľnej z nich určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od druhej priamky.
Vzdialenosť dvoch rovnobežných rovín určíme tak, že na ľubovoľnej z nich určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od druhej roviny.
Vzdialenosť priamky rovnobežnej s rovinou určíme tak, že na priamke určíme ľubovoľný bod a vypočítame jeho vzdialenosť od roviny.
Vzdialenosť bodu od priamky v priestore je rovná vzdialenosti tohoto bodu od jeho kolmého priemetu na danú priamku. Praktický výpočet vzdialenosti bodu od priamky prevedieme v štyroch krokoch:

1. Vyjadríme všeobecný vektor , kde je ľubovoľný bod priamky v závislosti od parametra priamky,
2. nájdeme tú (jedinú) hodnotu parametra, pre ktorú je tento vektor kolmý na smerový vektor priamky ,
3. dosadíme vypočítanú hodnotu parametra do vyjadrenia všeobecného vektora,
4. hľadaná vzdialenosť je rovná dĺžke takto získaného vektora.

Vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok v priestore určíme tak, že na ľubovoľnej z nich si zvolíme ľubovoľný bod a postupujeme podľa predchádzajúceho prípadu.

Príklad 28. Vypočítame vzdialenosť rovnobežných rovín a .

Riešenie: Zvoľme napríklad a vypočítajme jeho vzdialenosť od

Príklad 29. Vypočítame vzdialenosť bodu od priamky .

Riešenie:

1. Všeobecný vektor má vyjadrenie

2. Tento vektor je kolmý na smerový vektor priamky práve vtedy, ak

   Hľadaná hodnota parametra je preto .
3. Po dosadení dostávame súradnice konkrétneho vektora

4. Hľadaná vzdialenosť je

Vzdialenosť dvoch mimobežných priamok určíme v štyroch krokoch:

1. vyjadríme všeobecný vektor spájajúci ľubovoľný bod jednej priamky s ľubovoľným bodom druhej priamky v závislosti od parametrov obidvoch priamok,
2. nájdeme tie (jednoznačne určené) hodnoty parametrov, pre ktoré je tento vektor kolmý na smerové vektory obidvoch priamok,
3. dosadíme takto získané parametre do vyjadrenia všeobecného vektora,
4. hľadaná vzdialenosť sa rovná dĺžke takto získaného vektora.

Príklad 30. Vypočítame vzdialenosť prieniku rovín a od priamky .

Riešenie: Najskôr určíme vzájomnú polohu daných priamok. Smerový vektor priamky je kolmý na normálové vektory obidvoch rovín, ktoré ju obsahujú. Je ním teda ľubovoľný násobok vektorového súčinu

Kvôli jednoduchosti budeme pracovať s vektorom

Parametrické rovnice priamky dostaneme voľbou ľubovoľného spoločného bodu rovín a , napríklad bodu so súradnicami

Z rovníc priamok a vidíme, že sú buď rôznobežné alebo mimobežné. Priamka pretína rovinu v bode so súradnicami , ktorý neleží v rovine . Preto priamka nepretína priamku a obidve sú mimobežné.

1. Ak je ľubovoľný bod priamky a je ľubovoľný bod priamky , tak vektor
   .
2. Vektor je kolmý na obidva smerové vektory a práve vtedy, ak

   a súčasne

   Po úprave a riešení sústavy rovníc dostaneme hodnoty a .
3. Dosadením vypočítaných hodnôt parametrov dostávame konkrétny vektor
   .
4. Hľadaná vzdialenosť mimobežiek a je

Na záver poznamenajme, že existujú aj iné spôsoby ako riešiť vyššie popísané úlohy.