## Vzájomná poloha geometrických útvarov

V tejto ako aj v nasledujúcich častiach sa budeme zaoberať vzájomnou polohou viacerých (väčšinou dvoch) geometrických útvarov. Určenie tejto polohy obsahuje odpovede na otázky:

- Je prienik daných útvarov prázdny alebo neprázdny?
- Ak je prienik neprázdny, koľko obsahuje bodov?
- Ak prienik obsahuje nekonečne veľa bodov, akú množinu tieto body tvoria?

Najskôr si uvedomme, že hlavným princípom pri hľadaní odpovedí na tieto otázky je modifikácia už spomínaného pravidla (P):

  (P') Ľubovoľný bod leží v prieniku daných útvarov práve vtedy, ak jeho súradnice , a spĺňajú rovnice všetkých daných útvarov.

Na základe tohoto pravidla analytické riešenie úlohy spočíva v riešení sústavy rovníc daných objektov. Podľa počtu riešení tejto sústavy určíme typ vzájomnej polohy útvarov.
Niekedy je vhodné pred samotným riešením sústavy porovnať vzťah určujúcich vektorov, ktorý naznačí o aký typ vzájomnej polohy ide. Napríklad, ak máme v rovine jednu priamku určenú všeobecnou rovnicou a druhú priamku určenú parametrickými rovnicami, pričom normálový vektor jednej je rovnobežný so smerovým vektorom druhej, tak dané priamky sú na seba kolmé.
Inokedy, napríklad v prípade dvoch priamok v priestore, ktorých rovnice nemajú spoločné riešenie, je potrebná informácia o ich smerových vektoroch na rozlíšenie, či ide o priamky rovnobežné alebo mimobežné.

Príklad 17. Určíme vzájomnú polohu priamok a v rovine, ak

Riešenie: Smerový vektor priamky je rovnobežný s normálovým vektorom priamky , pretože . Priamky a sú kolmé.

Príklad 18. Určíme všetky čísla a , pre ktoré priamka

leží v rovine

Riešenie: Priamka leží v rovine práve vtedy, ak jej smerový vektor je kolmý na normálový vektor roviny a súčasne bod priamky leží v rovine. Podmienka kolmosti je splnená, ak

Druhá podmienka je splnená, ak

Príklad 19. Určíme vzájomnú polohu priamok
a .

Riešenie: Smerové vektory a sú rôznobežné, preto priamky sú buď rôznobežné alebo mimobežné. Rôznobežné sú práve vtedy, ak majú spoločný bod a to je práve vtedy, ak existujú také čísla a , pre ktoré platí

Z druhej rovnice vyplýva, že ak také čísla existujú, tak . Dosadením do tretej rovnice dostávame . Dosadením obidvoch čísel do prvej rovnice dostávame , čo nie je pravda. Preto sústava rovníc nemá riešenie, v dôsledku čoho priamky nemajú spločný bod a teda sú mimobežné.

V prípade určovania vzájomnej polohy priamky a kužeľosečky, priamky a guľovej plochy, roviny a guľovej plochy nemáme k dispozícii dvojicu určujúcich vektorov a preto sa obmedzíme na riešenie sústavy, ktorá pozostáva z jednej kvadratickej a jednej lineárnej rovnice, alebo z jednej kvadratickej a niekoľkých lineárnych parametrických rovníc. V prvom prípade vyjadríme z lineárnej rovnice niektorú premennú a dosadíme do kvadratickej, v druhom dosadíme hodnoty , , () z parametrických rovníc do kvadratickej. Podľa počtu riešení dostávame typ vzájomnej polohy.

Príklad 20. Určíme vzájomnú polohu priamky a kružnice .

Riešenie: Dosadíme za a z rovnice priamky do rovnice roviny

Po úprave dostaneme kvadratickú rovnicu pre

s riešeniami a . Keď tieto dve hodnoty dosadíme do rovníc priamky, dostaneme súradnice spoločných bodov priamky a kružnice a .

Príklad 21. Je daná hyperbola . Nájdeme všetky čísla , pre ktoré existuje k tejto hyperbole dotyčnica so smernicou .

Riešenie: Najskôr si uvedomíme, že dotyčnica so smernicou k danej hyperbole existuje práve vtedy, ak existuje dotyčnica so smernicou k hyperbole , ktorá vznikne posunutím hyperboly . Dosadíme za zo smernicovej rovnice všeobecnej priamky do rovnice hyperboly

Túto rovnicu upravíme na tvar kvadratickej rovnice s neznámou a parametrami a

Uvedomme si, že pre dané hodnoty parametrov a sú prípadnými riešeniami poslednej rovnice -ové súradnice spoločných bodov priamky a hyperboly . Priamka je pritom dotyčnicou hyperboly práve vtedy, ak rovnica má jediné riešenie a to je vtedy, ak jej diskriminant je . Našou úlohou je preto zistiť všetky čísla , pre ktoré existuje také číslo , že

Po úpravách dostaneme . Na pravej strane poslednej rovnice môžeme rôznymi voľbami hodnoty dostať všetky čísla z intervalu . Preto všetky možné hodnoty sú také, že je z toho istého intervalu. Riešením sú všetky čísla .

Príklad 22. Nájdeme rovnicu dotykovej roviny ku guľovej ploche v bode .

Riešenie: Z geometrie vieme, že spojnica stredu guľovej plochy s dotykovým bodom je kolmá na dotykovú rovinu. Preto vektor , kde je stred guľovej plochy, je normálový vektor hľadanej roviny, ktorej rovnicu dostávame zo vzťahu 2.23

a po úprave