## 10/26: Vektory

Verzia pre tlač (PDF) *

1. Dané sú body A[1; 1], B[2; -1] a C[3; 2].
a) Dokážte, že body A, B, C neležia na jednej priamke.
b) Dokážte, že trojuholník ABC je pravouhlý a rovnoramenný.
c) Vypočítajte dĺžky ťažníc trojuholníka ABC.

2. Dané sú body A[-2; 4; 1], B[-1; 2; 1], C[-2; 2; 1] a D[-2; 2; 4].
a) Dokážte, že body A, B, C, D neležia v jednej rovine.
b) Vypočítajte obsah trojuholníka ABC.
c) Určte vzdialenosť bodu D od roviny ABC.

3. Dané sú body A[3; 6; 0], B[1; 4; 5] a C[5; 2; 7].
a) Určte súradnice ťažiska trojuholníka ABC.
b) Vypočítajte obsah trojuholníka ABC.
c) Vypočítajte výšku .
d) Napíšte rovnicu priamky p rovnobežnej s priamkou AB, tak aby C Î p.

4. Dané sú body A[4; 7; 0], B[7; 3; 0], D[0; 4; 0].
a) Určte súradnice bodu C tak, aby ABCD bol rovnobežník.
b) Dokážte, že ABCD je štvorec.
c) Určte súradnice bodov E, F, G, H tak, aby ABCDEFGH bola kocka.
d) Napíšte rovnicu roviny a = DBG.

5. Daný je štvorsten A[0; -2; 1], B[3; 2; -1], C[-1; 4; 2], D[1; 1; 4]. Označte E stred hrany BC a F stred hrany BD.
a) Vyjadrite vektory u = AE, v = AF, w = CF ako lineárnu kombináciu vektorov b = AB, c = AC, d = AD.
b) Určte súradnice vektorov u, v, w.

6. Je daný pravidelný štvorboký ihlan ABCDV, veľkosť jeho podstavnej hrany je a = 6, výška v = 3. Zvoľte vhodne súradnicovú sústavu a riešte nasledujúce úlohy:
a) Dokážte, že .
b) Určte veľkosť uhla vektorov u = V – A a v = C – B.

7. a) Určte súradnice bodu C ležiaceho na osi x, ak C je vrchol trojuholníka ABC, ktorého obsah P = 2 a vrcholy A[2; 1], B[3; 2].
b) Vypočítajte súradnice ťažiska trojuholníka ABC z predchádzajúcej podúlohy.

* Verzia PDF je optimalizovaná pre tlač, preto niektoré znaky môžu byť na monitoroch zobrazené nekorektne. Na tlač potrebujete aplikáciu Adobe Acrobat Reader - http://www.adobe.com/.

Excellent Matematika http://matematika.host.sk/
matematika@host.sk